PEMBAGIAN SUKU BANYAK OLEH BENTUK KUADRAT

Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari operasi pembagian pada suku banyak oleh bentuk linear. Apakah kalian masih ingat? Tentu iya. Lantas bagaimana dengan operasi pembagian pada suku banyak oleh bentuk kuadrat? Kalian belum paham bukan?

Untuk memahaminya, ayo pelajari topik ini dengan seksama.

        Kalian tentu tidak asing lagi dengan bentuk kuadrat (ax 2 + bx + c ) dimana a, b, c ∈ R dana ≠ 0. Kalian juga pasti masih ingat bagaimana cara memfaktorkan bentuk kuadrat tersebut kedalam faktor-faktor linearnya. Nah, pengetahuan tersebut akan mempermudah kalian dalam mempelajari topik kali ini.

        Pada topik ini kita akan mempelajari pembagian pada suku banyak oleh bentuk kuadrat(ax 2 + bx + c ). Pembagian oleh bentuk ini dapat kalian lakukan dengan cara yang sama dengan pembagian sebelumnya, yaitu menggunakan metode pembagian bersusun danmetode skema (Horner). Apakah cara yang digunakan sama persis dengan pembagian oleh bentuk linear? Ataukah ada sesuatu yang membedakan? Untuk tahu jawabannya, mari kita simak penjelasan berikut ini.

Metode Pembagian Bersusun

        Variasi pembagi dari suatu suku banyak tidak berpengaruh besar terhadap penerapan metode pembagian bersusun. Apabila suatu suku banyak P (x ) dibagi dengan bentuk kuadratq (x ) = ax 2 + bx + c , perhitungan hasil bagi dan sisanya tidak jauh berbeda dengan pembagian oleh bentuk linear (x - k ) atau (ax + b ). Untuk memperjelas bagaimana pembagian ini dilakukan, mari kita perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Tentukan sisa dan hasil pembagian apabila suku banyak P (x ) = x 4 + 5x 3 + 5x 2 - 5x - 6 dibagi dengan bentuk kuadrat q (x ) = x 2 + 2x + 3.

Penyelesaian:

Mari kita terapkan metode pembagian bersusun yang telah kita pelajari sebelumnya sehingga didapat

Jadi kita peroleh hasil dan sisa dari pembagian ini berturut-turut adalah H (x ) = x 2 + 3x -4 dans (x ) = -6x + 6.

        Metode pembagian bersusun selalu dapat digunakan untuk membagi suatu suku banyak berderajat n dengan suku banyak lain yang berderajat kurang dari atau sama dengan n. Dalam metode ini dibutuhkan ketelitian dan konsentrasi yang baik saat menyusun pembagian, karena satu saja kesalahan kecil dapat mengacaukan perhitungan kalian.

Metode Skema (Horner)

        Metode Horner tidak selalu dapat digunakan untuk membagi suatu suku banyak P (x )dengan bentuk kuadrat q (x ) = ax 2 + bx + c . Adapun syarat agar cara Horner dapat dijalankan adalah pembagi q (x ) = ax 2 + bx + c harus dapat difaktorkan kedalam bentuk (ax - k1 ) (x - k2 ).

        Saat kalian menghitung 24 : 6 = 4 pernahkah terpikir oleh kalian untuk menghitungnya secara bertahap sebagai (24 : 3) : 2 = 4? Nah, prinsip pembagian dengan memanfaatkan faktor-faktor dari pembagi ini merupakan dasar dari pengembangan cara Horner yang melibatkan bentuk kuadrat q (x ) = ax 2 + bx + c .

        Untuk memahami bagaimana metode Horner diterapkan dalam pembagian yang melibatkan bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan, mari kita pelajari langkah-langkah berikut.

Misalkan suku banyak P (x ) dibagi dengan q (x ) = ax 2 + bx + c = (ax - k1 ) (x - k2 ).

Langkah 1

Membagi P (x ) dengan faktor pertama (ax - k1 ).

Langkah 2

Membagi H1 (x ) dengan faktor kedua yaitu (x - k2 ).

H1 (x ) = (x - k2 ) H2 (x ) + H1 (k2 )

dengan H1 (k2 ) = s2 (k2 )

Dengan menggabungkan persamaan yang kita peroleh dari langkah 1 dan 2, didapatkan:

Jadi dapat kita simpulkan bahwa suatu suku banyak P (x ) yang dibagi bentuk 
q (x ) = ax 2 + bx + c = (ax - k1 ) (x - k2 ) akan memberikan hasil sebagai berikut:

Agar kalian lebih memahami bagaimana metode Horner digunakan dalam perhitungan, mari kita pelajari contoh berikut.

Contoh:

Tentukan sisa dan hasil pembagian apabila suku banyak 
P (x ) = 2x 5 + 3x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 6x + 7 dibagi dengan bentuk kuadrat q (x ) = 2x 2 - 3x + 1.

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa q (x ) = 2x 2 - 3x + 1 = (2x - 1) (x - 1) sehingga pembuat nol dari kedua faktor ini adalah 12$\frac{1}{2}$ dan 1.

Tabel Horner untuk pembuat nol dari (2x - 1) disajikan sebagai berikut.

Tabel Horner untuk pembuat nol dari (x - 1) disajikan sebagai berikut.

Perhatikan bahwa kita membagi baris terakhir tabel Horner dengan 2 karena pada awalnya kita melakukan pembagian dengan bentuk (ax + b ) dengan a = 2. (Ingat kembali materi ini pada pembelajaran sebelumnya.). Dari tabel tersebut kita ketahui bahwa:

H2 (x ) = x 3 + 3x 2 + 6x + 10

H1 (k2 ) = 15

P (k1a)$\frac{k_1}{a})$ = 12

Jadi, dapat kita simpulkan bahwa apabila suku banyak P (x ) = 2x 5 + 3x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 6x + 7dibagi dengan bentuk kuadrat q (x ) = 2x 2 - 3x + 1 akan didapatkan:

Hasil bagi: H2 (x ) = x 3 + 3x 2 + 6x + 10

Sisa bagi: s (x ) = (ax - k1 ) H1 (k2 ) + P (k1a$\frac{k_1}{a}$) = (2x - 1)15 + 12 = 30x - 3.