PERNYATAAN BERKUANTOR

KUANTOR

Kuantor dari suatu pernyataan adalah istilah yang digunakan untuk menyatakan “berapa banyak” objek di dalam suatu kalimat atau pembicaraan. Selain untuk menyatakan kuantifikasi, kuantor juga biasa digunakan untuk mengubah kalimat terbuka menjadi suatu kalimat deklaratif.

KUANTOR EKSISTENSIAL

Kuantor eksistensial dilambangkan dengan Ǝ dan memiliki arti “ada” atau “terdapat”.

Coba perhatikan pernyataan berikut : Ǝx , p(x) 
Pernyataan di atas dibaca : terdapat x sehingga berlaku p(x). 
Dengan demikian, hanya ada beberapa x saja yang memenuhi p(x). 
Jadi, tidak semua x memenuhi p(x).

Contoh:

1. (Ǝx∈ ℝ) x + 1 = 3 dibaca : terdapat suatu x yang merupakan anggota himpunan bilangan riil, sedemikian sehingga x + 1 = 3.
2. (Ǝx∈ ℕ) x - 7 = 10 dibaca : terdapat suatu x yang merupakan anggota himpunan bilangan asli, sedemikian sehingga x - 7 = 10.

Jika kita perhatikan dua contoh di atas, x + 1 = 3 dan x - 7 = 10 pada mulanya merupakan kalimat terbuka, karena kita tidak dapat menentukan nilai kebenaran dari kedua kalimat tersebut. Namun setelah ditambahkan kuantor, kedua kalimat tersebut dapat ditentukan nilai kebenarannya.

• (Ǝx∈ ℝ) x + 1 = 3 akan bernilai benar jika x = 2
• (Ǝx∈ ℕ) x - 7 = 10 akan bernilai benar jika x = 17

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa kuantor dan semesta pembicaraan akan mengubah kalimat terbuka menjadi suatu kalimat deklaratif (pernyataan) yang dapat ditentukan nilai kebenarannya.

KUANTOR UNIVERSAL

Kuantor universal dilambangkan dengan ∀ dan memiliki arti “untuk setiap”, “untuk semua”.

Coba perhatikan pernyataan berikut : ∀x , p(x).
Pernyataan di atas dibaca : untuk setiap x berlaku p(x). 
Dengan kata lain, setiap x memenuhi p(x).

Contoh:

1. (∀x∈ ℝ) x2 ≥ 0 dibaca : untuk setiap x anggota himpunan bilangan riil, berlaku x2 ≥ 0.
2. (∀x ≠ 0) x0 = 1 dibaca : untuk setiap x yang bukan nol, berlaku x0 = 1.

Bagaimanakah nilai kebenaran dari kedua pernyataan di atas?

Sebagaimana sifat himpunan bilangan riil, kuadrat bilangan riil selalu bernilai positif, dimana nol kuadrat adalah nol dan hasil bagi bilangan nol dengan bilangan tak nol adalah nol. Dengan demikian, kedua pernyataan dalam contoh di atas bernilai benar.

Apakah sekarang kalian sudah mengetahui perbedaan antara kuantor eksistensial dan kuantor universal?

Perlu kalian ketahui, simbol dari kuantor eksistensial mengacu pada istilah “exist” atau “there exist”, sedangkan simbol dari kuantor universal mengacu pada istilah “all” atau “for all”.

Dalam penerapannya, kuantor eksistensial dan kuantor universal sering digunakan secara bersamaan dalam suatu kalimat. Meskipun demikian, perbedaan urutan penulisan kuantor akan memberikan makna yang berbeda pada kalimat tersebut.

Agar lebih jelas, mari kita cermati dua contoh berikut:

(∀x)(Ǝy) x + y = 0

• Pernyataan di atas dibaca : untuk setiap x, terdapat suatu y sehingga x + y = 0. Dengan demikian, untuk masing-masing bilangan x, terdapat bilangan y yang sesuai, sehingga hasil penjumlahan kedua bilangan tersebut adalah nol. Bilangan y yang dimaksud dalam hal ini adalah lawan dari bilangan x, yaitu -x. Jadi, nilai dari bilangan y akan berubah-ubah, tergantung pada nilai dari bilangan x.

(Ǝy)(∀x) x + y = x

• Pernyataan di atas dibaca : terdapat y sehingga untuk setiap x berlaku x + y = x. Dengan demikian, terdapat bilangan y yang apabila dijumlahkan dengan sebarang bilangan x, hasilnya adalah bilangan x itu sendiri. Bilangan y yang dimaksud dalam hal ini adalah bilangan nol (0). Jadi, nilai dari bilangan y adalah tetap (konstan) dan tidak tergantung pada nilai dari bilangan x.