TEOREMA SISA PADA PEMBAGI BENTUK KUADRAT

  Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari Teorema Sisa pada pembagian suku banyak oleh bentuk linear yaitu (x - k ) dan (ax - b ). Dari pembelajaran tersebut, kalian tentu sudah sangat memahami Teorema Sisa I dan Teorema Sisa II. Nah, pada pembelajaran kali ini kita akan coba untuk mencari sisa pembagian suku banyak dengan suku banyak lain yang berderajat dua (ax2 + bx + c ). Namun untuk menyederhanakan pembahasan, kita gunakan
a = 1 dan bentuk (ax2 + bx + c ) dapat difaktorkan menjadi (x - j ) (x - k ) dimana j, k ∈ R.Bagaimana cara menyelesaikannya? Untuk menemukan jawabannya, yuk simak topik ini dengan seksama.

Pembagian Suku Banyak oleh (x - j ) (x - k )

Suatu suku banyak P (x) yang dibagi oleh (x - j ) (x - k ) dapat kita tulis sebagai berikut.

P (x ) = (x - j ) (x - k ) H (x ) + s (x )

dengan H (x ) sebagai hasil pembagian dan s (x ) merupakan sisa pembagian.

        Perlu kalian pahami bahwa sisa pembagian s (x ) tidak mungkin memiliki derajat lebih dari satu. Dengan kata lain s (x ) hanya dapat berbentuk px + q dengan p, q ∈ R. Hal ini sama dengan pembagian bilangan pada umumnya, sisa pembagian pasti lebih kecil dari pembaginya. Misalnya pembagian bilangan dengan 5, maka sisa yang mungkin pastilah 0, 1, 2, 3, atau 4. Prinsip dari sisa pembagian pada bilangan ini juga berlaku pada sisa pembagian suku banyak.

        Sekarang coba perhatikan bahwa terdapat dua pembuat nol dari pembagi (x - j ) (x - k )yaitu x = j dan x = k. Nilai suku banyak pada kedua pembuat nol ini memungkinkan kita untuk menentukan sisa pembagian yang dimaksud tanpa harus menggunakan dua metode yang kalian pelajari sebelumnya. Perhatikan penjabaran berikut.

Saat x = j dan s (x ) = px + q maka

P (x ) = (x - j ) (x - k ) H (x ) + s (x )

P (j ) = (j - j ) (j - k ) H (j ) + (pj + q )

P (j ) = (0) (j - k ) H (j ) + (pj + q )

P (j ) = pj + q ... (1)

Saat x = k dan s (x ) = px + q maka

P (x ) = (x - j ) (x - k ) H (x ) + s (x )

P (k ) = (k - j ) (k - k ) H (k ) + (pk + q )

P (k ) = (k - j ) (0) H (k ) + (pk + q )

P (k ) = pk + q ... (2)

Oleh karena nilai dari j, k, P (j ), P (k ) diketahui, maka kita dapat menentukan sisa pembagian
s (x ) = px + q dengan mencari nilai dari p dan q. Dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan (1) dan (2), diperoleh :

pj + q      = P (j )

pk + q     = P (k )    _

pj - pk     = P (j ) - P (k )

p (j - k )   = P (j ) - P (k )

dengan demikian, didapatkan nilai p yaitu,

Untuk mendapatkan nilai q, kalikan k dengan persamaan (1) dan j dengan persamaan (2). Dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan (1) dan (2), diperoleh :

kpj + kq    = k P (j )

jpk + jq     = j P (k )   _

kq - jq       = kP (j ) - jP (k )

q (k - j )     = kP (j ) - jP (k )

dengan demikian, didapatkan nilai q yaitu,

Berdasarkan penjabaran tersebut, dapat disimpulkan bahwa sisa pembagian P (x) dengan
(x - j ) (x - k ) adalah:

Hasil penting tersebut dapat kita nyatakan dalam teorema berikut:

Teorema Sisa III

Jika suku banyak P (x) dibagi oleh (x - j ) (x - k ), maka sisa pembagianya adalah:

Agar kalian lebih memahami penggunaan Teorema Sisa III ini, perhatikan contoh berikut.

Contoh

Tentukan sisa pembagian dari suku banyak P (x ) = 3x4 - 6x3 + 7x2 + 3 oleh x2 - 3x + 2.

Penyelesaian:

Pembagi x2 - 3x + 2 dapat difaktorkan menjadi (x - 1) (x - 2) sehingga diketahui j = 1 dan k = 2. Mari kita tentukan nilai dari P (j ) dan P (k ) terlebih dahulu.

Berdasarkan Teorema Sisa III, sisa pembagian dari suku banyak tersebut adalah sebagai berikut.

Jadi, sisa pembagian yang dimaksud adalah s (x ) = 24x - 17.