TEOREMA SISA PADA PEMBAGI BENTUK LINEAR

Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar bersama tentang pembagian suku banyak yang melibatkan pembagi linear berbentuk (x - k) dan (ax + b). Apakah kalian masih mengingatnya? Tentu masih bukan?

        Pada pembelajaran yang lalu, hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak dapat kita tentukan dengan dua metode yaitu pembagian bersusun dan Horner. Namun, apabila kita dihadapkan pada pertanyaan sederhana seperti sekedar mencari sisa pembagian, penggunaan kedua metode tersebut membuat perhitungan menjadi rumit dan membutuhkan banyak waktu. Contohnya, untuk menghitung sisa pembagian P (x) = x 2015 + 2015 oleh 
q (x) = x - 1. Apabila menggunakan metode Horner diperlukan 2016 kolom dan apabila menggunakan pembagian bersusun akan dibutuhkan paling tidak 4031 baris dalam diagram pembagiannya. 

        Sekarang, mari kita coba untuk menyusun suatu cara sederhana dalam menentukan sisa dari pembagian suku banyak oleh bentuk (x - k) dan (ax + b). Setelah mempelajari topik ini, kalian akan mengetahui bahwa dalam menentukan sisa pembagian suku banyak tidak selalu dengan dua metode pembagian yang telah kalian pelajari sebelumnya.

Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk (x - k)

        Mari kita tinjau ulang pembagian suatu suku banyak P (x) dengan q (x) = (x - k). Pembagian tersebut memberikan hasil bagi berupa H (x) dan sisa berupa S, dapat kita tulis sebagai berikut.

P (x) = q (x) H (x) + S

P (x) = (x - k) H (x) + S

        Apabila kita cermati, kita dapat menemukan bentuk yang setara dengan S apabila kita berhasil menghilangkan suku pembagi q (x) dan hasil bagi H (x) dari persamaan tersebut. Cara yang dapat kita tempuh adalah dengan mensubstitusikan pembuat nol dari pembagi q (x)yaitu 
x = k. Adapun hasil yang kita peroleh setelah proses substitusi dilakukan dapat dilihat dalam penjabaran berikut ini.

P (x) = (x - k) H (x) + S saat x = k

P (k) = (k - k) H (x) + S

P (k) = (0) H (x) + S

P (k) = 0 + S

P (k) = S

        Baris terakhir dari penjabaran ini menegaskan bahwa sisa pembagian suku banyak P (x)oleh q (x) = (x - k) adalah sama dengan nilai suku banyak saat x = k atau S = P (k). Hasil tersebut akan sangat menghemat waktu perhitungan untuk mencari sisa pembagian suku banyak P (x) oleh q (x) = (x - k). Untuk itu kita nyatakan hasil penting ini dalam teorema berikut:

Teorema Sisa I

Jika suku banyak P (x) dibagi oleh q (x) = x - k, maka sisa dari pembagiannya adalah S = P (k).

Agar kalian lebih memahami penerapan Teorema Sisa I ini, coba perhatikan contok berikut.

Contoh:

Tentukan sisa pembagian apabila suku banyak P (x) = x4 - 2x3 + 4x2 - 6x + 8 dibagi oleh 
q (x) = x - 2.

Penyelesaian:

Mula-mula kita tentukan pembuat nol dari pembagi q (x) yaitu:

q (x) = 0

x - 2 = 0

     x = 2

Berdasarkan Teorema Sisa I, sisa pembagiannya adalah P (k) = P (2), sehingga diperoleh:

S = P (2)

P (2) = (2)4 - 2(2)3 + 4(2)2 - 6(2) + 8

P (2) = 16 - 16 + 16 - 12 + 8

P (2) = 12

Jadi, sisa pembagian saat P (x) = x4 - 2x3 + 4x2 - 6x + 8 dibagi oleh q (x) = x - 2 adalah 
S = 12.

Kalian bisa menguji kebenaran hasil dari Teorema Sisa I ini menggunakan metode pembagian bersusun atau metode Horner.

Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk (ax + b)

        Nah, bagaimana dengan sisa pembagian suku banyak P (x) yang dibagi oleh 
q (x) = ax + b? Pada dasarnya ide yang akan digunakan sama dengan ide yang telah kita gunakan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, mari kita simak penjabaran berikut ini.

        Misalkan pembagian suku banyak P (x) dengan q (x) = ax + b memberikan hasil bagi H (x)dan sisa S, maka pembagian ini dapat ditulis sebagai berikut.

P (x) = (ax + b) H (x) + S

Perhatikan bahwa x = -ba$\frac{b}{a}$ merupakan pembuat nol dari pembagi q (x) = ax + b. Dengan mensubstitusikan nilai x kedalam persamaan P (x), diperoleh:

Baris terakhir dari penjabaran tersebut menyatakan bahwa sisa pembagian suku banyak P (x)oleh q (x) = ax + b adalah sama dengan nilai suku banyak saat x = -ba$\frac{b}{a}$.

Hasil ini akan sangat menghemat waktu perhitungan untuk mencari sisa pembagian suku banyak P (x) oleh q (x) = ax + b. Untuk itu kita nyatakan hasil penting ini dalam teorema berikut:

Teorema Sisa II

Jika suku banyak P (x) dibagi oleh q (x) = ax + b, maka sisa dari pembagiannya adalah P (-ba$\frac{b}{a}$).

Kedua teorema sisa tersebut sederhananya hanya menyatakan bahwa sisa pembagian suatu suku banyak oleh bentuk linear adalah sama dengan nilai suku banyak tersebut pada pembuat nol dari pembagi linearnya.

Agar kalian lebih memahami penerapan Teorema Sisa II ini, coba perhatikan contok berikut.

Contoh:

Tentukan sisa pembagian apabila suku banyak P (x) = 9x3 + 6x2 + 3x + 1 dibagi oleh 
q (x) = 3x - 1.

Penyelesaian:

Mula-mula kita tentukan pembuat nol dari pembagi q (x) yaitu:

q (x)   = 0

3x - 1 = 0

     3x = 1

       x = 13$\frac{1}{3}$

Perlu kalian perhatikan bahwa bentuk 3x - 1 = 3x + (-1), sehingga berdasarkan Teorema Sisa II, sisa pembagiannya adalah P (-ba$\frac{b}{a}$) = P (- (−1)3$\frac{(-1)}{3}$) = P (13$\frac{1}{3}$), diperoleh:

Jadi, sisa pembagian saat P (x) = 9x3 + 6x2 + 3x + 1 dibagi oleh q (x) = 3x - 1 adalah S = 3.