SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 17

Soal

Banyaknya bilangan asli n ∈ {1, 2, 3, ..., 1000} sehingga terdapat bilangan real positif x yang memenuhi x² + ⌊x⌋² = n adalah ....

Pembahasan

n E {1, 2, 3, ..., 1000}

x^2+⌊x⌋^2=n

Jelas bahwa x2 haruslah bilangan bulat sehingga x merupakan akar dari suatu bilangan asli.

Jika x bulat

Maka ⌊x⌋=x

2 <= 2x2 = n <= 1000

1 <= x2 <= 500

Karena 22^2 = 484 dan 23^2 = 529 maka banyaknya nilai x yang memenuhi ada 22.

Jadi, banyaknya nilai x yang memenuhi untuk x bulat ada sebanyak 22.
Jika x tidak bulat

Misalkan ⌊x⌋=k untuk k E Z

Maka x=√(k^2+p) dengan 1 <= p < 2k + 1 agar x tidak bulat.

k^2 + p + k^2 = n

2k^2 + p = n

2 . 22^2 = 968

Maka untuk k = 22 nilai p yang mungkin ada sebayak 32.

Untuk setiap nilai k = 1, 2, 3, ..., 21 maka banyaknya nilai p yang memenuhi ada 2k.

Jadi, banyaknya nilai n yang memenuhi sama dengan banyaknya nilai p yang memenuhi untuk 

setiap k = 1, 2, 3, ..., 22.

Banyaknya nilai n yang memenuhi = 2 . 1 + 2 . 2 + 2 . 3 + ... + 2 . 21 + 32 = 462 + 32 = 494

Maka banyaknya bilangan asli yang memenuhi = 22 + 494 = 516.

Jadi, banyaknya bilangan asli n yang memenuhi adalah 516.