Perbandingan Ruas Garis pada Segitiga yang Sebangun

Perbandingan Ruas Garis Sejajar pada Segitiga

Perhatikan segitiga di bawah ini.

Pada segitiga tersebut, sisi f yang sejajar dengan e, sehingga diperoleh:

cc+d=aa+b=ef

cd=ab

Catatan: 
Kata “sejajar” juga dapat dilambangkan dengan “//”.

Perbandingan Ruas Garis pada Segitiga Siku-Siku

Perhatikan gambar di atas.

Pada gambar tersebut terdapat 3 pasang segitiga yang sebangun yaitu ΔBAC dengan ΔADB, ΔBAC dengan ΔADC, dan ΔADB dengan ΔADC.

• Untuk ΔBAC dan ΔADB

Perbandingan sisi–sisi yang bersesuaian adalah:

ABBD=BCAB=ACAD

Dengan menggunakan ABBD=BCAB, diperoleh:

ABBD=BCAB

⇔AB2=BD×BC

• Untuk ΔBAC dan ΔADC

Perbandingan sisi – sisi yang bersesuaian adalah:

ABAD=CBAC=ACCD

Dengan menggunakan perbandingan CBAC=ACCD, diperoleh:

CBAC=ACCD

⇔AC2=CD×CB

• Untuk ΔADB dan ΔADC

Perbandingan sisi–sisi yang bersesuaian adalah:

ADDC=BDAD=ABAC

Dengan menggunakan perbandingan ADDC=BDAD, diperoleh:

ADDC=BDAD

⇔AD2=BD×DC

Berdasarkan uraian di atas, diperoleh rumus-rumus pada segitiga yang siku-siku di Atas sebagai berikut.

⇔AB2=BD×BC

⇔AC2=CD×CB

⇔AD2=BD×DC

Perbandingan Ruas Garis pada Segitiga Terpancung (Trapesium)

Perhatikan gambar di bawah ini.

Oleh karena garis EG sejajar dengan garis AH, maka segitiga ΔDEG sebangun dengan segitiga ΔDAH, sehingga berlaku:

DEDA=EGAH

⇔mm+n=y−xz−x

⇔m(z−x)=(m+n)(y−x)

⇔mz−mx=my−mx+ny−nx

⇔mz=my+ny−mx+mx−nx

⇔mz=(m+n)y−nx

⇔(m+n)y=mz+nx

⇔y=mz+nxm+n

Dengan demikian, pada segitiga terpancung (trapesium) ABCD berlaku:

y=mz+nxm+n

dengan:

y = garis yang sejajar dengan dua sisi sejajar trapesium

m dan n = perbandingan ruas garis pada bukan sisi sejajar trapesium

x dan z = sisi sejajar trapesium dengan panjang x < z

Contoh 1

Perhatikan gambar berikut.

Jika panjang AB = 3 cm, BC = 2 cm, dan DE = 3 cm, maka tentukan panjang BD.

Penyelesaian:

Diketahui:
panjang AB = 3 cm
panjang BC = 2 cm
panjang DE = 3 cm

Misalkan panjang BD = p.

Panjang BD dapat ditentukan dengan perbandingan ruas garis sejajar pada segitiga.

Pada segitiga tersebut, sisi DE yang sejajar dengan BC, sehingga diperoleh dua buahsegitiga yang sebangun yaitu ΔADE dan ΔABC.

Ini berarti, salah satu perbandingan sisi bersesuaiannya adalah:

ADAB=DEBC⇔(3+p)3=32⇔2(3+p)=3(3)⇔6+2p=9⇔2p=9–6⇔2p=3⇔p=1,5

Jadi, panjang BD = p = 1,5 cm.

Contoh 2

Perhatikan gambar berikut.

Diketahui ΔACB siku-siku di C. Jika panjang AD = 32 cm dan DB = 8 cm, maka tentukan panjang CD.

Penyelesaian:

Untuk menentukan panjang CD, gunakan perbandingan ruas garis pada segitiga siku-siku.

Berdasarkan gambar pada soal diperoleh ΔADC sebangun dengan ΔCBD, sehingga salah satu perbandingan sisi bersesuaiannya adalah:

ADCD=CDBD⇔CD2=AD×BD⇔CD2=32×8⇔CD2=256−−−√⇔CD=16

Jadi, panjang CD = 16 cm.

Contoh 3

Perhatikan gambar di bawah ini.

Diketahui panjang AB = 15 cm, DC = 9 cm, dan AE : ED = 2 : 1. Tentukan panjang EF.

Penyelesaian:

Panjang EF dapat ditentukan dengan perbandingan ruas garis pada segitiga terpancung (trapesium).

Ini berarti:
panjang m = nilai perbandingan ED = 1
panjang n = nilai perbandingan EA = 2
panjang z = panjang AB = 15 cm
panjang x = panjang DC = 9 cm

y=mz+nxm+n

⇔EF=ED.AB+EA.DCED+EA⇔EF=15(1)+9(2)1+2⇔EF=15+183⇔EF=333⇔EF=11

Jadi, panjang sisi EF adalah 11 cm.