SOAL DARI PEMBACA (MATERI APA YA??)

Berikut soal dari pembaca yang penulis terima via bbm

Pembahasan

Bentuk diatas sudah berhasil kita buktikan.. selanjutnya

Semoga bermanfaat

Menyelesaikan Masalah Matematika Terkait Kekongruenan dan Kesebangunan

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai benda-benda dengan bentuk dan ukuran yang sama. Sebagai contoh keramik-keramik yang terpasang di lantai, konblok yang terpasang di halaman maupun di jalan, genteng yang tertata dengan rapinya di atap rumah, sekolah maupun gedung-gedung yang lain.

Nah, dalam istilah matematika, dua atau lebih bangun datar dengan bentuk dan ukuran yang sama dikatakan kongruen.

Apakah kalian masih ingat dengan pengertian kesebangunan?

Benar sekali. Dua bangun datar dikatakan sebangun jika perbandingan antara panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama.

Yuk kita cermati beberapa contoh soal berikut ini untuk mendapatkan gambaran mengenai masalah matematika terkait kekongruenan dan kesebangunan.

Contoh 1

Paul ingin mengganti tali yang ada pada tiang bendera di sekolahnya. Oleh karena itu, ia perlu mengetahui berapa tinggi tiang bendera. Nah, untuk keperluan tersebut, ia berdiri di dekat tiang bendera pada pagi hari yang cerah dan diketahui bahwa panjang bayangan Paul adalah 2,5 m, sedangkan panjang bayangan tiang bendera adalah 6 m. Jika tinggi Paul 1,5 m, maka berapakah tinggi tiang bendera?

Penyelesaian:

Berdasarkan informasi dalam soal, dapat kita buat sketsa sebagai berikut:

Oleh karena ∆OAD$∆OAD$ dan ∆OBE$∆OBE$ sebangun, maka perbandingan antara sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama.

Dengan demikian,

ADBC⇔BC⇔BC⇔BC====OAOBAD×OBOA1,5×62,53,6

Jadi, tinggi tiang bendera adalah 3,6 m.

Contoh 2

Tono mempunyai dua buah pas foto berbentuk persegipanjang. Foto pertama berukuran 3 cm ×$\times$ 4 cm, sedangkan foto kedua hanya diketahui panjangnya saja, yaitu 18 cm. Berapakah perbandingan luas antara kedua foto?

Penyelesaian:

Oleh karena bentuk kedua pas foto adalah persegipanjang, maka keduanya sebangun.

Dengan demikian, perbandingan antara panjang foto pertama dan kedua akan sama dengan perbandingan antara lebar foto pertama dan kedua.

Nah, karena lebar foto kedua belum diketahui, maka dapat kita misalkan sebagai x$x$.

318=4x⇔3x=18×4⇔x=18×43⇔x=24

Berdasarkan uraian di atas, kita ketahui bahwa lebar foto kedua adalah 24 cm.

Dengan demikian, perbandingan antara luas foto pertama dan kedua adalah 3×418×24=16×6=136.

KEKONGRUENAN PADA SEGITIGA

Kongruen dilambangkan dengan 

≅, sehingga jika terdapat dua buah segitiga yang kongruen misalnya ΔABC kongruen dengan ΔPQR, maka dapat ditulis sebagai ΔABC≅ΔPQR.

Perhatikan gambar berikut.

Dari gambar di atas diketahui bahwa ΔACM adalah segitiga sama kaki. Sisi AP merupakan garis tinggi ΔACM, sehingga membentuk ΔACP dan ΔAMP. Apakah ΔACP kongruen dengan ΔAMP? ΔACP kongruen dengan ΔAMP (ΔACP ≅ ΔAMP) karena:

• ΔACP dapat tepat menempati ΔAMP dengan cara mencerminkan ΔACP terhadap garis AP atau semua sisi ΔACP memiliki panjang yang sama dengan ΔAMP.
• ΔCAM merupakan segitiga sama kaki, sehingga ∠ACP = ∠AMP (sudut pada kaki segitiga samakaki ΔCAM) dan ∠APC = ∠APM = 90⁰. Ini berakibat ∠CAP = ∠MAP.

Dari uraian di atas diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Sifat-Sifat Dua Segitiga yang Kongruen

• Sisi–sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sama
• Sudut–sudut yang seletak besarnya sama

Syarat-Syarat Dua Segitiga yang Kongruen

• Dua segitiga akan kongruen jika ketiga sisi yang bersesuaian dari dua segitiga itu sama panjang (s, s, s).

       Perhatikan jajargenjang PQRS. Garis QS merupakan diagonal jajargenjang PQRS yang membaginya menjadi 2 buah segitiga yaitu ΔPQS dan ΔRSQ. Apakah ΔPQS kongruen dengan ΔRSQ? Pada jajargenjang PQRS, sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang yaitu:

PQ // SR sehingga PQ = SR
PS // QR sehingga PS = QR.

Selanjutnya, QS adalah diagonal bidang sehingga QS = SQ. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari ΔPQS dan ΔRSQ sama panjang. Jadi, ΔPQS dan ΔRSQ kongruen.

• Dua segitiga akan kongruen jika dua sisi pada segitiga pertama sama panjang dengan dua sisi yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan besar sudut apit dari kedua sisi tersebut sama (s, sd, s).

       Pada gambar tersebut, sisi DE = KL, ∠D = ∠K, dan DF = KM. Jika kita mengukur panjang sisi dan besar sudut lainnya yaitu sisi EF dan LM, ∠E dan ∠L, serta ∠F dan ∠M, maka akan diperoleh:

EF = LM
∠E = ∠L
∠F = ∠M.

Dengan demikian, pada ΔDEF dan ΔKLM berlaku panjang DE = KL, EF = LM, dan DF = KM. ini berati bahwa pada ΔDEF dan ΔKLM sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Selain itu, besar ∠D = ∠K, ∠E = ∠L, dan ∠F = ∠M. Ini berarti bahwa sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Hal ini menunjukkan bahwa ΔDEF dan ΔKLM memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen.

• Dua segitiga akan kongruen jika dua sudut pada segitiga pertama sama besar dengan dua sudut yang bersesuaian pada segitiga kedua, dan sisi yang merupakan kaki persekutuan kedua sudut sama panjang (sd, s, sd).

       Pada gambar tersebut, ∠G = ∠X, ∠H = ∠Y, dan sisi GH = XY. Jika kita mengukur besar ∠I dan ∠Z, panjang sisi GI dan XZ, serta panjang HI dan YZ, maka akan diperoleh:

besar ∠I = ∠Z
panjang sisi GI = XZ
panjang HI = YZ.

Dengan demikian, pada ΔGHI dan ΔXYZ berlaku, ∠G = ∠X, ∠H = ∠Y, dan ∠I = ∠Z. Ini berati bahwa pada ΔGHI dan ΔXYZ sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Panjang GH = XY, HI = YZ, dan GI = XZ. Ini berarti bahwa pada ΔGHI dan ΔXYZ sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Hal ini menunjukkan bahwa ΔGHI dan ΔXYZ memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen.

Perbedaan antara Kesebangunan dan Kekongruenan pada Segitiga

Contoh 1

Perhatikan gambar berikut.

Jika ΔABC kongruen dengan ΔPQR, maka tentukan:
- panjang PR
- panjang QR
- ∠PQR
- ∠QRP

Penyelesaian:

• Oleh karena sisi PR bersesuaian dengan AC, maka panjang sisi PR = AC = 9 cm.
• Oleh karena sisi QR bersesuaian dengan CB, maka panjang QR = CB = 11 cm.
• Oleh karena ∠PQR bersesuaian dengan ∠ABC, maka ∠PQR = ∠ABC = 50⁰.
• Oleh karena ∠QRP bersesuaian dengan ∠ACB, maka ∠ QRP = ∠ ACB = 60⁰.

Contoh 2

Perhatikan gambar segitiga siku-siku di bawah ini.

Tentukan nilai x yang memenuhi agar segitiga siku-siku ABC kongruen dengan segitiga siku-siku PQR.

Penyelesaian:

Dua segitiga dikatakan kongruen jika semua sisi yang besesuaian sama panjang. Oleh karena itu, sisi AB = PQ, AC = PR dan BC = QR.

Panjang sisi BC dapat ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras, yaitu:

BC2=AB2+AC2$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

⇔BC=AB2+AC2−−−−−−−−−−√$\iff BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}$

⇔BC=62+82−−−−−−√$\iff BC=\sqrt{6^2+8^2}$

⇔BC=36+64−−−−−−√$\iff BC=\sqrt{36+64}$

⇔BC=100−−−√$\iff BC=\sqrt{100}$

⇔BC=10$\iff BC=10$

⇔BC=QR$\iff BC=QR$

⇔10=3+x$\iff 10=3+x$

⇔x=10−3=7$\iff x=10-3=7$ cm

Jadi, nilai x yang memenuhi agar segitiga siku-siku ABC kongruen dengan segitiga siku-siku PQR adalah 7 cm.