IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri atau kesamaan trigonometri adalah identitas atau kesamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut. Sebuah identitas trigonometri dapat ditunjukkan kebenarannya dengan tiga cara. Cara pertama, dimulai dengan menyederhanakan ruas kiri menggunakan identitas sebelumnya sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kanan. Cara kedua, mengubah dan menyederhanakan ruas kanan sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kiri. Cara ketiga, mengubah baik ruas kiri maupun ruas kanan ke dalam bentuk yang sama.

Ada beberapa rumus identitas trigonometri yang perlu kita ketahui, yaitu :

Identitas Perbandingan

Identitas Kebalikan

Identitas Pythagoras
• sin2 α + cos2 α = 1
• tan2 α + 1 = sec2 α
• 1 + cot2 α = cosec2 α

Identitas-identitas trigonometri yang diperoleh dari hubungan Pythagoras di atas dapat dibuktikan kebenarannya sebagai berikut. Perhatikan gambar di bawah ini.

Titik P (x, y) terletak pada lingkaran satuan dengan ∠POX = α. Segitiga OPP ’ siku-siku di P ’, sehingga berlaku hubungan Pythagoras:
(OP ’)2 + (PP ’)2 =1
⇔ x2 + y2 = 1

Oleh karena cos α = x dan sin α = y, maka diperoleh:
cos2 α + sin2 α = 1

Jika kedua ruas persamaan x2 + y2 = 1 dibagi dengan x2 , maka diperoleh :

Oleh karena tan α = $\frac{y}{x}$ dan sec α = $\frac{1}{cos\alpha }=\frac{1}{x}$, maka diperoleh :
1 + tan2 α = sec2 α

Jika kedua ruas persamaan x2 + y2 = 1 dibagi dengan y2 , maka diperoleh :
1 + cot2 α = csc2 α

Identitas Ko-fungsi

Contoh dari identitas ko-fungsi adalah sebagai berikut.
• sin 60° = cos 30°
• cos 45° = sin 45°
• sec 50° = csc 40°
• cot 70° = tan 20° 

HUBUNGAN ANTARA TITIK DAN GARIS

Dalam geometri ruang ini, pokok materi yang akan kita pelajari nanti adalah konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang. Namun sebelum kita ke pokok persoalan jarak dan sudut tentunya kita harus sudah paham dulu tentang hubungan antara titik, garis dan bidang.

Dalam topik ini, kita akan mulai mempelajari topik Hubungan Titik dan Garis.
Apa kalian masih ingat dengan apa yang dimaksud dengan titik dan garis?

Mari kita ingat kembali pengertian titik, garis, dan aksioma Euclides.

Pengertian Titik

Titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tidak berukuran (tidak berdimensi).
Titik digambarkan dengan tanda noktah dan dibubuhi nama, biasanya dengan huruf kapital/ huruf besar.

Contoh :

Pengertian Garis

Garis (garis lurus) memiliki ukuran panjang, tetapi tak punya ukuran lebar. Biasanya garis hanya dilukiskan sebagian saja, disebut wakil garis. Nama wakil garis dilambangkan dengan huruf kecil (g, h, k) atau menyebutkan nama segmen garis dari titik pangkal ke titik ujung.

Contoh :

Aksioma Euclides

Melalui dua buah titik sebarang (tidak berimpit) hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

Hubungan Titik dan Garis

• Titik P terletak pada garis g
• Titik Q terletak di luar garis g
• Titik R terletak di luar garis g

Untuk lebih memahami pengertian hubungan antara titik dan garis, mari kita perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH.

Tentukan titik yang terletak :
a. pada ruas garis HF
b. di luar ruas garis EG
c. pada ruas garis AC
d. di luar ruas garis BD
e. pada rusuk EF
f. di luar rusuk HD

Jawab :

a. H, K, F
b. A, B, C, D, L, H, F,
c. A, C, L
d. A, C, E, F, G, H, K
e. E, F
f. A, B, C, L, E, F, G, K

SOAL OSP MATEMATIKA SMA TAHUN 2017 (DOWNLOAD)

Berikut disajikan soal olimpiade matematika sma tingkat propinsi tahun 2017

Bagi yang ingin silahkan download dibagian bawah

SOAL OSP MTK SMA 2017

OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT BAGIAN 2 KURIKULUM 13 KELAS 7

3. Operasi Perkalian Bilangan Bulat

Pada prinsipnya, perkalian merupakan penjumlahan berulang.
Jika a adalah bilangan bulat positif dan b bilangan bulat, maka:
a x b = b + b + b + … +b
(sebanyak a kali)
Contoh :

• 3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15
• 4 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -8

Berikut ini adalah sifat-sifat yang berlaku pada operasi perkalian bilangan bulat :

• Tertutup : Untuk setiap bilangan bulat a, b, jika a x b = c maka c juga bilangan bulat.
• Komutatif : 
  a x b = b x a
• Asosiatif : 
  (a x b) x c = a x (b x c)
• Unsur Identitas : 
  a x 1 = 1 x a = a
• Distributif : 
  a(b + c) = ab + ac
  a(b - c) = ab - ac

Contoh :

Dalam satu hari Andi mempu menyisihkan uang sakunya sebesar Rp 3.500,00 untuk ditabung. Jika Andi terus menabung dalam jumlah yang sama selama tiga minggu berturut-turut dengan jumlah yang sama, berapakah total tabungan yang dimiliki Andi?

Jawab :

Ingat bahwa 1 minggu = 7 hari.
Banyaknya uang tabungan Andi = 3 x 7 x Rp 3.500,00 = 21 x Rp 3.500,00 = Rp 73.500,00

4. Operasi Pembagian Bilangan Bulat

Operasi pembagian merupakan invers (lawan) dari operasi perkalian.
Jika perkalian dapat dimaknai sebagai penjumlahan berulang, maka operasi pembagian dapat diartikan sebagai operasi pengurangan berulang.
Dengan demikian, jika a x b = n dengan a, b, dan n bilangan bulat positif maka n dapat dinyatakan sebagai pengurangan berulang :

n – b – b – b – …. – b = 0
(sebanyak a kali)

atau 
n – a – a – a – …. – a = 0

(sebanyak b kali)

Adapun sifat-sifat yang berlaku pada operasi pembagian bilangan bulat adalah sebagai berikut :

• a : b = a x 1/b, b≠ 0
• a : 0 = tak terdefinisi

Contoh :

Pak Hadi memetik 30 buah mangga dari kebunnya. Mangga-mangga itu rencananya akan dibagi rata kepada enam orang saudaranya. Dengan menggunakan prinsip pembagian, dapatkah kalian menentukan berapa banyak mangga yang diterima oleh masing-masing saudara Pak Hadi?

Jawab :

30 dibagi 6 dapat diartikan sebagai pengurangan 30 oleh 6 secara berulang hingga diperoleh hasil nol (habis).
Pengurangan tersebut dapat dituliskan dengan : 30 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 = 0.
Tampak bahwa 30 harus dikurangi 6 sebanyak lima kali untuk memperoleh hasil nol.
Dengan demikian dapat diartikan bahwa 30 : 6 = 5.
Jadi, masing-masing saudara Pak Hadi akan menerima 5 buah mangga.

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat Kelas 7 K-13

Seekor ikan berenang pada kedalaman 25 meter dari permukaan laut. Tak lama kemudian ikan tersebut berenang naik sejauh 10 meter, lalu masuk kembali 20 meter.
Dapatkah kalian menentukan posisi ikan tersebut jika diukur dari permukaan laut?
Dengan cara apakah kalian menyelesaikan permasalahan tersebut?

Nah, untuk dapat menyelesaikan permasalahan seperti contoh di atas kalian perlu memahami tentang operasi hitung bilangan bulat.
Yuk, kita simak bersama-sama topik kali ini.

1. Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat

Sifat-sifat operasi penjumlahan bilangan bulat :

• Tertutup
  Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika a + b = c, maka c juga bilangan bulat.
• Komutatif
  a + b = b + a
• Asosiatif
  (a + b) + c = a + (b + c)
• Unsur Identitas
  a + 0 = 0 + a = a

Contoh :

• 5 + 4 = 9
  4 + 5 = 9
  Jadi, 5 + 4 = 4 + 5
• 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
  (2 + 3) + 4 = 5 + 4 =9
  Jadi, 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

2. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat

Operasi pengurangan merupakan invers (lawan) dari operasi penjumlahan.
Berikut ini adalah beberapa sifat dari operasi pengurangan bilangan bulat :

• invers dari a adalah –a
• a – b = a + (-b)
• a – (-b) = a + b
• -a – (-b) = -a + b
• -a – b = -a + (-b)

Contoh :

• 15 – 3 = 12
  15 + (-3) = 12
  Jadi, 15 – 3 = 15 + (-3)
• 13 – (-4) = 17
  13 + 4 = 17
  Jadi, 13 – (-4) = 13 + 4
• -6 – (-5) = -1
  -6 +5 = -1
  Jadi, -6 – (-5) = -6 +5
• -20 – 5 = -25
  -20 + (-5) = -25
  Jadi, -20 – 5 = -20 + (-5)

Kembali pada contoh tentang ikan di atas, permasalahan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut :

• Seekor ikan berenang pada kedalaman 25 meter dari permukaan laut = - 25
• Ikan tersebut berenang naik sejauh 10 meter = +10
• Lalu masuk kembali 20 meter = -20

Posisi ikan sekarang = -25+10+(-20) = (-25+10) + (-20) = -15 + (-20) = -35.
Dengan demikian posisi ikan sekarang jika diukur dari permukaan laut adalah 35 meter di bawah permukaan air laut.