MENENTUKAN BANYAK KORESPONDENSI SATU-SATU

Banyak Korespondensi Satu-Satu

Jika n (A) = n (B) = n, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalah:

n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 3 × 2 × 1

Contoh:

• Jika n (A) = n (B) = n = 3, maka banyak korenspondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalah:
  3 × 2 × 1 = 6
• Jika n (A) = n (B) = n = 4, maka banyak korenspondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalah:
  4 × 3 × 2 × 1 = 24

Contoh

Berdasarkan contoh 1, berapa banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan himpunan B?

Penyelesaian:

Diketahui :
A = {1, 4, 9, 16, 25}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
n (A) = n (B) = n = 5

Banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan himpunan B adalah:
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Jadi, banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan himpunan B adalah 120.

KORESPONDENSI SATU-SATU

Pengertian Korespondensi Satu-Satu

Korespondensi satu-satu adalah fungsi yang memetakan setiap anggota dari himpunan A ke tepat satu anggota B dan setiap anggota himpuan B ke tepat satu anggota A. ini berarti, banyak anggota himpunan A dan B harus sama atau n (A) = n (B).

Contoh 1

Diketahui A = {1, 4, 9, 16, 25} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Gambarkan diagram panah dari himpunan A ke himpunan B dengan relasi kuadrat dari. Apakah fungsi dari himpunan A ke himpunan B merupakan korespondensi satu-satu?

Penyelesaian:

Diagram panah dari himpunan A ke himpunan B adalah sebagai berikut.

Berdasarkan pengertian korespondensi satu-satu, fungsi dari himpunan A ke himpunan B merupakan korespondensi satu-satu.

Contoh 2

Diketahui P = {14, 16, 18, 20} dan Q = {12, 14, 16}. Nyatakan himpunan pasangan berurutan relasi dua lebihnya dari dari himpunan P ke himpunan Q. Apakah fungsi dari himpunan P ke himpunan Q merupakan korespondensi satu-satu?

Penyelesaian:

Diketahui:
P = {14, 16, 18, 20}
Q = {12, 14, 16}

Himpunan pasangan berurutan relasi dua lebihnya dari dari himpunan P ke himpunan Q adalah:
{(14, 12), (16, 14), (18, 16)}.

Berdasarkan pengertian korespondensi satu-satu, fungsi dari himpunan P ke himpunan Q bukan merupakan korespondensi satu-satu. Ini karena ada 1 anggota himpunan P yaitu 20 tidak memiliki pasanngan dengan anggota himpunan Q.

MENENTUKAN BANYAK PEMETAAN ATAU FUNGSI

Banyak Fungsi (Pemetaan)

Jika banyak himpunan P adalah n (P) = p dan banyak anggota himpunan Q adalah n (Q) = q, maka banyak fungsi (pemetaan) dari:

• himpunan P ke Q adalah qp.
• himpunan Q ke P adalah pq.

Contoh 1

Jika himpunan P = {-1, 1} dan Q = {e, f, g, h, i}, maka tentukan banyak fungsi (pemetaan) himpunan P ke Q.

Penyelesaian:

Diketahui:
P = {-1, 1}, n (P) = p = 2
Q = {e, f, g, h, i}, n (Q) = q = 5

Banyak fungsi dari himpunan P ke Q = qp

Jadi, banyak fungsi dari himpunan P ke Q = 52 = 25.

Contoh 2

Jika himpunan P = {-1, 1} dan Q = {e, f, g, h, i}, maka tentukan banyak fungsi (pemetaan) himpunan Q ke P.

Penyelesaian:

Diketahui:
P = {-1, 1}, n (P) = p = 2
Q = {e, f, g, h, i}, n (Q) = q = 5

Banyak fungsi dari himpunan Q ke P = pq

Jadi, banyak fungsi dari himpunan Q ke P = 25 = 32.

MODUL PENYUSUNAN SOAL HOTS (DOWNLOAD)

Silahkan download modul penyusunan soal HOTS ( High Order Thinking Skills) bagi yang membutuhkan di bawah ini

MODUL PENYUSUNAN SOAL HOTS <download>

PENGERTIAN FUNGSI ATAU PEMETAAN DAN CARA MENYAJIKAN FUNGSI

Pengertian Fungsi atau Pemetaan

Fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Contoh 1

Perhatikan diagram panah berikut.

Dari diagram di atas terlihat bahwa setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B dengan:

A = {1, 2, 3, 4} disebut daerah asal (domain). 
B = {6, 9, 12, 15}disebut daerah kawan (kodomain). 
Himpunan {6, 9, 12} disebut daerah hasil (range).

Syarat suatu relasi merupakan fungsi atau pemetaan adalah:

• setiap anggota himpuan A mempunyai pasangan di himpunan B.
• setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B.

Cara Menyajikan Suatu Fungsi (Pemetaan)

Sama halnya dengan relasi, fungsi dapat dinyatakan dengan 3 cara yaitu diagram panah, diagram kartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Contoh 2

Berdasarkan gambar (1), himpunan alat-alat transportasi adalah kereta api, bus, sepeda, kapal, dan pesawat. Himpunan jalur transportasi digunakan adalah udara, darat, dan laut. Relasi dari himpunan alat-alat transportasi dengan himpunan jalurnya, merupakan sebuah fungsi. Nyatakan fungsi tersebut dengan cara diagram panah, diagram kartesius, dan diaggram panah.

Penyelesaian:

• Diagram Panah

• Diagram Kartesius

• Himpunan pasangan berurutan = {(kereta api, darat), (bus, darat), (sepeda, darat), (kapal, laut), (pesawat, udara)}

CARA MENYAJIKAN SUATU RELASI

Cara Menyajikan Suatu Relasi

Cara menyajikan suatu relasi adalah dengan diagram panah, diagram kartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Mari simak penjelasannya berikut ini.

Diagram Panah

Diagram panah adalah diagram yang menggambarkan hubungan antara dua himpunan dengan disertai tanda panah. Arah panah menunjukkan anggota-anggota himpunan yang berelasi dengan anggota-anggota tertentu pada himpunan lainnya.

Contoh 1

Berdasarkan Ilustrasi, diketahui A adalah himpunan siswa dan himpunan B adalah himpunan kegiatan ekstrakurikuler. Buatlah relasi mengikuti ekstrakurikuler dari himpunan A ke himpunan B yang dinyatakan dengan diagram panah.

Penyelesaian:

Diketahui:
A = {Ani, Lion, Ahmad, Wahyu, Hanna}
B = {pramuka, basket, sepak bola, paskibra}

Relasi di atas dapat dinyatakan dengan diagram panah sebagai berikut.

Diagram Kartesius

Relasi antara dua himpunan juga dapat dinyatakan dengan diagram kartesius. Pada diagram kartesius, setiap pasangan anggota himpunan yang berelasi dengan anggota himpunan lain dinyatakan dengan titik atau noktah. Diagram kartesius terdiri dari sumbu mendatar dan sumbu tegak. Sumbu mendatar menyatakan anggota himpunan pertama, sedangkan sumbu tegak menyatakan anggota himpunan kedua.

Contoh 2

Berdasarkan ilustrasi di atas, diketahui A adalah himpunan siswa dan himpunan B adalah himpunan kegiatan ekstrakurikuler. Buatlah relasi mengikuti ekstrakurikuler dari himpunan A ke himpunan B yang dinyatakan dengan diagram kartesius.

Penyelesaian:

Diketahui:
A = {Ani, Lion, Ahmad, Wahyu, Hanna}
B = {pramuka, basket, sepak bola, paskibra}

Relasi mengikuti ekstrakurikuler dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan diagram kartesius.

Pada diagram kartesius himpunan pertama yaitu himpunan A terletak di sumbu mendatar, sedangkan himpunan kedua yaitu himpunan B yang terletak di sumbu tegak seperti pada gambar berikut.

Himpunan Pasangan Berurutan

Relasi antara dua himpunan juga dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan. Anggota himpunan pertama ditulis pada urutan pertama, sedangkan anggota himpunan kedua ditulis pada urutan kedua untuk setiap pasangan pada himpunan pasangan berurutan.

Contoh 3

Berdasarkan ilustrasi, diketahui A adalah himpunan siswa dan himpunan B adalah himpunan kegiatan ekstrakurikuler. Buatlah relasi mengikuti ekstrakurikuler dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan.

Penyelesaian:

Diketahui:
A = {Ani, Lion, Ahmad, Wahyu, Hanna}
B = {pramuka, basket, sepak bola, paskibra}

Relasi di atas dapat dinyatakan dengan:
himpunan pasangan berurutan = {(Ani, pramuka), (Ani, basket), (Lion, sepak bola), (Ahmad, pramuka), (Wahyu, sepak bola), (Wahyu, paskibra), (Hanna, paskibra)}.

PENGERTIAN RELASI DAN HIMPUNAN

Mari simak ilustrasi berikut.

Pernahkah kamu dan teman-teman sekelasmu saling bertanya tentang cita-cita? Apakah akan muncul satu jawaban yang sama? Tentu tidak. Ada yang bercita-cita menjadi dokter, guru, pilot, dan sebagainya. Dari jawaban-jawaban tersebut, kamu dapat membuat hubungan antara teman-teman sekelasmu dengan cita-cita yang diinginkan.

       Contoh di atas menunjukkan adanya hubungan antara himpunan siswa di kelasmu dengan anggota himpunan cita-cita. Hubungan tersebut disebut relasi. Pernahkah kamu mendengar kata relasi sebelumnya? Dalam contoh tersebut, kata mempunyai cita-cita merupakan relasi yang menghubungkan himpunan siswa dan himpunan cita-cita. Agar kamu lebih memahami relasi khususnya pengertian relasi, mari pelajari topik ini dengan saksama.

        Sebelum kita mempelajari tentang relasi, mari ingat kembali tentang definisi himpunan. Pemahaman tentang definisi himpunan akan sangat membantumu dalam memahami relasi.

Definisi Himpunan

Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda yang memiliki karakteristik (ciri-ciri) yang sama atau terdefinisi dengan jelas, sehingga dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Contoh 1

• Diketahui himpunan A adalah himpunan bilangan genap antara 1 dan 9. Tentukan anggota himpunan A.

Penyelesaian:

A = {2, 4, 6, 8}

• Diketahui himpunan P = {2, 3, 4, 5, 7}. Apakah himpunan P adalah himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 8?

Penyelesaian:

Misalkan himpunan Q adalah himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 8, maka Q = {3, 5, 7}.

Oleh karena P = {2, 3, 4, 5, 7}, maka diperoleh himpunan P ≠ himpunan Q.

Jadi, himpunan P bukan himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 8.

Pengertian Relasi

Kata relasi tentu pernah kita dengar dalam kehidupan sehari-hari. Relasi berarti hubungan. Relasi dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan anggota-anggota himpunan lainnya. Salah satu contohnya yaitu Pak Agus adalah ayah dari Ari. “Ayah dari” merupakan suatu aturan yang menjelaskan hubungan keluarga antara Pak Agus dengan Ari. Dengan demikian, dapat disimpulkan:

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

Contoh relasi:

• hubungan negara dan benderanya.
• hubungan provinsi dan ibukota provinsinya.
• hubungan orang tua dan anak.
• hubungan antarbilangan.
• hubungan siswa dengan nilai matematikanya.

Agar kamu semakin paham tentang pengertian relasi, perhatikan contoh berikut.

Contoh 2

Diketahui himpunan A = {1, 3, 5} dan himpunan B = {1, 6, 10}. Tentukan relasi dari A ke B.

Penyelesaian:

Relasi dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan:

• 1 adalah faktor dari 1
• 1 adalah faktor dari 6
• 1 adalah faktor dari 10
• 3 adalah faktor dari 6
• 5 adalah faktor dari 10

Jadi, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah faktor dari.

KISI-KISI USBN JENJANG SMP 2017 (DOWNLOAD)

Berikut saya sertakan kisi-kisi Ujian sekolah berstandar nasional atau USBN tahun 2017 untuk jenjang smp.
Bagi yang menginginkannya dapat memperolehnya dengan cara mengunduh atau download di bawah ini

KISI-KISI USBN SMP 2017

KISI-KISI UJIAN NASIONAL JENJANG SMP TAHUN 2017 (DOWNLOAD)

Bagi yang menginginkan kisi-kisi ujian nasional terbaru alias tahun 2017/2018 untuk jenjang smp dapat memperolehnya dengan mengunduh atau download dibawah ini

KISI-KISI UN SMP 2017

PERHITUNGAN EKSPONEN RASIONAL

Perhitungan eksponen rasional

Eksponen rasional atau lebih dikenal dengan eksponen pecahan dan ditunjukkan sebagai berikut:

Jadi, dari atas kita dapat menyimpulkan sebagai berikut:

Untuk akar kuadrat, kita dapat menulisnya sebagai pangkat setengah dengan cara sebagai berikut:

Untuk akar pangkat tiga, pangkatnya sepertiga:

Untuk akar pangkat empat, pangkatnya seperempat:

Dan begitu seterusnya.

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Contoh 4

MEMAHMI PANGKAT RASIONAL

Terdapat hubungan antara pangkat dan akar, yaitu bahwa akar dari suatu bilangan dapat mengembalikan nilai asli bilangan tersebut dari pangkatnya dan sebuah pangkat dari suatu bilangan dapat mengembalikan nilai asli bilangan tersebut dari akarnya.

Contoh :

Selanjutnya, untuk menyederhanakan bentuk akar, dilakukan beberapa langkah berikut :

1) Untuk akar kuadrat (akar pangkat dua), tanda akar dapat ditulis sebagai pangkat setengah

2. Akar pangkat tiga dapat ditulis sebagai pangkat satu per tiga

3. Akar pangkat empat dapat ditulis sebagai pangkat satu per empat

4. Akar pangkat lima dapat ditulis sebagai pangkat satu per lima, dan seterusnya

Jika terdapat bilangan berpangkat di dalam tanda akar, maka untuk menyederhanakannya, dilakukan cara sebagai berikut :

Apakah kalian tahu keuntungan mengubah bentuk akar menjadi bentuk pangkat?

Keuntungan yang kita peroleh antaralain : proses penghitungan menjadi lebih mudah, masalah menjadi lebih sederhana, dan memungkinkan kita untuk melakukan perhitungan yang tidak dapat kita lakukan sebelumnya.

Contoh :

Lalu bagaimana cara kita mengembalikan bentuk pangkat pecahan menjadi bentuk akar?

Mari kita perhatikan contoh berikut ini :

Pangkat desimal dapat juga dinyatakan sebagai pangkat pecahan

Contoh :

Secara umum, jika pangkat yang diberikan merupakan sebuah bilangan bulat dan bukan pecahan, maka pangkat tersebut dapat dibiarkan (tidak diubah), karena pangkat tersebut sudah tidak dapat disederhanakan lagi.

Selanjutnya, perlu diingat bahwa akar kuadrat sebuah bilangan real selalu bernilai positif dan bukan negatif.

Contoh :

Hal inilah yang mendasari munculnya nilai absolut. Nilai absolut dari bilangan negatif adalah bilangan positif dan nilai absolut dari bilangan positif adalah bilangan positif juga.

Selanjutnya, nilai absolut dari x ditulis : |x|

FAKTORISASI BENTUK ALJABAR KELAS 8 MATEMATIKA SMP

Faktorisasi Selisih Dua Kuadrat

Untuk setiap bilangan cacah x dan y, telah dijelaskan bahwa bentuk (x + y)(x - y) dapat dijabarkan sebagai berikut :

Bentuk tersebut dapat juga ditulis sebagai bentuk faktorisasi, yaitu :

Bentuk x2 - y2 pada ruas kiri disebut selisih dua kuadrat, karena terdiri dari dua suku yang masing-masing merupakan bentuk kuadrat, dan merupakan bentuk pengurangan (selisih). Ruas kanan, yaitu (x + y)(x - y) merupakan bentuk perkalian faktor-faktor.

Berdasarkan hal tersebut, maka rumus faktorisasi selisih dua kuadrat adalah :
x2 - y2 = (x + y)(x - y)

Faktorisasi ax^2 + bx + c dengan a = 1

Pada bahasan ini, akan kita pelajari tentang faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1. Mari kita perhatikan bentuk aljabar berikut :

1. x2 + 10x - 21 berarti a = 1, b = 10, dan c = -21
2. x2 - 12x + 20 berarti a = 1, b = -12, dan c = 20

Pada bentuk ax2 + bx + c :
1. a disebut koefisien x2
2. b disebut koefisien x
3. c disebut bilangan konstan

Untuk memahami faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1, yang selanjutnya dapat kita tulis dengan x2 + bx + c , mari kita perhatikan uraian berikut.

Dari penjabaran tersebut, diperoleh hubungan sebagai berikut :

Ternyata faktorisasi bentuk x2 + bx + c dapat dilakukan dengan cara menentukan pasangan bilangan yang memenuhi syarat-syarat berikut :

1. Bilangan konstan c merupakan hasil perkalian dari pasangan bilangan tersebut
2. Koefisien x , yaitu b merupakan hasil penjumlahan dari pasangan bilangan tersebut.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa faktorisasi bentuk x2 + bx + c adalah :

Faktorisasi ax^2 + bx + c dengan a ≠ 1

Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang perkalian suku dua. Apakah kalian masih ingat?

Dari bentuk pada ruas kanan, dapat disimpulkan bahwa untuk memfaktorkan 8x2 + 22x + 15 (lihat bentuk 2), terlebih dahulu suku 22x diuraikan menjadi dua suku (lihat bentuk 1) dengan aturan sebagai berikut :

1. Jika koefisien kedua suku itu dijumlahkan, maka akan menghasilkan 22
2. Jika koefisien kedua suku itu dikalikan, maka hasilnya sama dengan hasil kali koefisien dengan bilangan konstan, yaitu 120

Dengan demikian, pemfaktoran 8x2 + 22x + 15 dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :

Dari uraian di atas, dapat ditarik kesimpulan berikut :

Mari kita mencermati beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1 :

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.

1. 4a + 8

2. 9p3 + 15p2

3. 4x2y + 6xy2 - 8x2y2

Penyelesaian :

4a + 8 
= 4(a) + 4(2)
= 4 (a + 2)

9p3 + 15p2 
= 3p3(3) + 3p3(5p2)
= 3p3(3 + 5p2)

4x2y + 6xy2 - 8x2y2 
= 2xy(2x) + 2xy(3y) - 2xy(4xy)
= 2xy(2x + 3y - 4xy)

Contoh 2 :

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini!

1. a2 - 49

2. 25x2 - 362

3. 9x4 - 4y2

4. 5m2 - 5n2

Penyelesaian :

a2 - 49 
= a2 - 72
= (a + 7)(a - 7)

25x2 - 362 
= (5x)2 - 62
= (5x + 6)(5x - 6)

9x4 - 4y2 
= (3x2)2 - (2y)2
= (3x2 + 2y)(3x2 - 2y)

5m2 - 5n2 
= 5(m2 - n2)
=5(m + n)(m - n)

Contoh 3 :

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut!

1. x2 + 10x + 16

2. x2 + 2x - 48

3. 18 + 11y + y2

4. p2 - 9pq - 10q2

Penyelesaian :

Contoh 4 :

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini!

1. 6x2 - 11x + 3

2. 3x2 + 5x - 12

3. 12x2 - 17xy - 5y2

Penyelesaian :

MENGGUNAKAN PERSAMAAN LINGKARAN

Menggunakan persamaan lingkaran:

Sebuah lingkaran dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik-titik dengan jarak yang sama dari sebuah titik pusat.

Apabila pusat lingkaran adalah  (a,b). Maka semua titik-titik  yang berjarak  r dari titik pusat  (a,b) akan membentuk sebuah lingkaran.

Mari sekarang kita turunkan persamaan lingkaran. 

Kita buat sebuah segitiga di dalam lingkaran seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Dengan menggunakan  teorema Pythagoras(a2 + b2 = c2), kita dapatkan:

                               (x-a)2 + (y-b)2 = r2

yang merupakan  "BENTUK BAKU PERSAMAAN" dari sebuah lingkaran. 

Seringkali persamaan lingkaran tidak diberikan dalam bentuk baku seperti ini. Mari kita mulai dari bentuk baku persamaan yang kemudian dijabarkan sebagai berikut. 

                               (x-a)2 + (y-b)2 = r2   

            x2 + a2 -2ax + y2 + b2 - 2by = r2

                               x2 + y2 - 2ax - 2by = r2 - a2 - b2

                               x2 + y2 - 2ax - 2by = r2 - a2 - b2

                  x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0  

di mana  c =  √(a2 + b2 - r2)

Persoalan berikut ini adalah tentang menggunakan persamaan lingkaran untuk menemukan titik pusat dan jari-jari lingkaran. Berikut ini adalah beberapa contoh yang akan membantu kita dalam memahami konsep.

CONTOH 1:

Carilah persamaan lingkaran yang berpusat di (4,-3) dan mempunyai keliling 10π?

PENYELESAIAN:

kita ketahui bahwa keliling lingkaran dinyatakan dengan  

                                        C = 2πr

Karena diketahui keliling lingkaran adalah  10π, maka kita dapatkan  r = 5 units

Jadi, persamaan lingkaran yang didapatkan adalah:

                     (x-4)2 + (y+3)2 = 52 

CONTOH 2:

Carilah persamaan lingkaran yang mempunyai (2, 4)dan (-2, 0) sebagai titik-titik akhir dari diameternya.

PENYELESAIAN:

Pusat lingkaran akan terletak pada titik pertengahan diameternya.

Jadi,

      titik pusat = ( (2-2)/2 , (4+0)/2 ) = (0, 2)

Dengan menggunakan rumus jarak, jari-jari 'r' dapat ditemukan seperti dibawah ini:

             r = √{ (2-0)2 + (4-2)2 } =  2√2

Jadi persamaan lingkaran yang didapatkan adalah:

                        (x-0)2 + (y-2)2 = (2√2)2

ATAU                                x2 + y2 -4y = 8