MENENTUKAN GRADIEN BERBAGAI BENTUK

Gradien Garis yang Melalui Titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Seperti yang telah dijelaskan pada uraian sebelumnya, gradien (m) garis yang melalui 2 titik yaitu (x1, y1) dan (x2, y2) adalah:

$m=\frac{y_2–y_1}{x_2–x_1}$

Contoh 1

Gradien garis yang melalui titik (3, -1) dan (1, 5) adalah ....

Penyelesaian:

Diketahui garis melalui titik (3, -1) dan (1, 5).

Ini berarti: 
(3, -1) → x1 = 3 dan y1 = -1
(1, 5) → x2 = 1 dan y2 = 5

$m=\frac{y_2–y_1}{x_2–x_1}=\frac{5–(-1)}{1–3}=\frac{6}{-2}=-3$
.
Jadi, gradiennya (m) = -3.

Gradien Garis y = mx dan y = mx + c

Dari penjelasan sebelumnya diperoleh bahwa:

Oleh karena persamaan garis y = mx melalui (0, 0) dan (x, y), maka berlaku $m=\frac{y}{x}$. Hal yang sama juga berlaku pada persamaan garis y = mx + c. Jadi, gradien persamaan garis y = mx dan y = mx + c adalah nilai m atau koefisien variabel x.

Contoh 2

Tentukan gradien dari persamaan garis y = 3x.

Penyelesaian:

Persamaan garis y = 3x berbentuk y = mx, sehingga gradiennya merupakan koefisien dari variabel x yaitu 3.

Jadi, gradien dari y = 3x adalah 3.

Contoh 3

Tentukan gradiean dari persamaan garis y = -2x + 12.

Penyelesaian:

Persamaan garis y = -2x + 12 berbentuk y = mx + c, sehingga gradiennya merupakan koefisien dari variabel x yaitu -2.

Jadi, gradien dari y = -2x + 12 adalah -2.

Gradien Garis ax + by = c atau ax + by + c = 0

Untuk menentukan gradien dari persamaan garis ax + by = c, kita ubah bentuk persamaan tersebut ke dalam bentuk y = mx + cyaitu:

$ax+by=c\iff by=-ax+c\iff y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$

Oleh karena gradien persamaan y = mx + c adalah m atau koefisien variabel x, maka gradien persamaan $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$ adalah $m=-\frac{a}{b}$.

Jadi, gradien garis ax + by = c atau ax + by + c = 0 adalah: 
$m=-\frac{a}{b}$

Contoh 4

Gradien persamaan garis 3y + 2x = 12 adalah ...

Penyelesaian:

Persamaan garis 3y + 2x = 12 merupakan bentuk ax + by = c.

Ini berarti:
a = koefisien x = 2
b = koefisien y = 3

Jadi, gradien dari 3y + 2x = 12 adalah:
$m=-\frac{a}{b}=-\frac{2}{3}$

Contoh 4 ini juga dapat diselesaikan dengan cara alternatif.

Cara Alternatif

Persamaan garis 3y + 2x = 12 merupakan bentuk ax + by = c.

Ubah 3y + 2x = 12 ke bentuk y = mx + c.
$3y+2x=12\iff 3y=-2x+12\iff y=-\frac{2}{3}x+\frac{12}{3}$

Gradien dari $y=-\frac{2}{3}x+\frac{12}{3}$ adalah koefisien dari variabel x yaitu $-\frac{2}{3}$.

Jadi, gradien dari 3y + 2x = 12 adalah $-\frac{2}{3}$.

Perlu diingat bahwa tanda (+) atau (-) pada gradien menentukan arah kemiringan garis. Jika diperoleh gradien bernilai positif berarti arah garis naik dari kiri ke kanan, sedangkan gradien bernilai negatif berarti arah garis turun dari kiri ke kanan.