MENENTUKAN JENIS SEGITIGA DENGAN TEOREMA PYTHAGORAS

Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisi-Sisinya

Menurut teorema Pythagoras, pada ∆ABC yang siku-siku di C, berlaku c2 = a2 + b2 . Pernyataan tersebut berlaku juga sebaliknya, yaitu jika pada ∆ABC diketahui c2 = a2 + b2 maka ∆ABC merupakan segitiga siku-siku di C. Kebalikan teorema Pythagoras ini dapat digunakan untuk menyelidiki apakah sebuah segitiga merupakan segitiga siku-siku atau bukan.

       Selengkapnya mengenai jenis-jenis segitiga jika diketahui panjang sisinya, yaitu sebagai berikut.

                

Contoh

Coba selidiki apakah ∆ABC dengan panjang sisi 15 cm, 36 cm, dan 39 cm merupakan segitiga siku-siku.

Jawab:

Sisi terpanjang pada ∆ABC memiliki panjang 39 cm. Kamu dapatkan 392 = 1.521.

Sisi-sisi lainnya memiliki panjang 15 cm dan 36 cm. Kamu dapatkan 152 = 225 dan 362 = 1.296.

Coba perhatikan bahwa 152 + 362 = 225 + 1.296 = 1.521.

Jadi, 152 + 362 = 392 .

Oleh karena pada ∆ABC sisi-sisinya memenuhi teorema Pythagoras, maka ∆ABC merupakan segitiga siku-siku.

TRIPEL PYTHAGORAS

Tripel Pythagoras

Untuk menentukan salah satu sisi pada segitiga siku-siku dengan cepat dapat dilakukan dengan mudah dan tanpa menggunakan teorema Pythagoras. Caranya kamu dapat menggunakan tripel Pythagoras.

             

Berikut ini daftar tripel Pythagoras.

                

Pasangan tripel ini berlaku untuk kelipatannya.

Contoh

Buktikan bahwa 12, 5, 13 merupakan tripel Pythagoras.

Jawab:

Misalkan a = 12, b = 5, dan c = 13.

Berarti, a2 = 144, b2 = 25, dan c2 = 169.

Kamu dapat mengamati bahwa a2 + b2 = 144 + 25 = 169.

Jadi, c2 = a2 + b2 .

Ini berarti, 12, 5, 13 memenuhi teorema Pythagoras sehingga ketiga bilangan tersebut merupakan tripel Pythagoras.

PENGGUNAAN TEOREMA PYTHAGORAS

Pada topik sebelumnya, kamu sudah mempelajari tentang teorema Pythagoras, yaitu sebagai berikut.

              

Misalnya, pada ∆ABC yang siku-siku di C, berlaku:

                                        

Contoh

Coba tentukan nilai x pada bangun berikut.

                

Jawab:

Dapat kamu amati bahwa ∆ABC siku-siku di B sehingga:

AC2 = AB2 + BC2

⇔ 202 = x2 + 122

⇔400 = x2 + 144

⇔x2 = 400 – 144

⇔x2 = 256

⇔x = $\sqrt{256}$

⇔x = 16

Jadi, x = 16.

SALAH SATU KEBENARAN TEOREMA PYTHAGORAS

Kebenaran teorema Pythagoras juga dapat diketahui dengan menempatkan persegi di setiap sisi segitiga siku-siku seperti berikut.

                                       

Misalkan kita memiliki persegi A, B, dan C yang masing-masing berukuran a, b, dan c. Luas masing-masing persegi adalah La = a2 , Lb = b2 , dan Lc = c2 . Jika a = 3 cm, b = 4 cm, dan c = 5 cm, kita akan mendapatkan bahwa:

Luas persegi pada sisi miring = jumlah luas persegi pada kedua sisi siku-sikunya

Lc = La + Lb

⇔c2 = a2 + b2

⇔52 = 32 + 42

⇔25 = 9 + 16

PENURUNAN RUMUS PYTHAGORAS

Beberapa konsep yang mendukung penemuan teorema Pythagoras adalah:

a. Luas persegi

Suatu persegi dengan panjang sisi a mempunyai luas L = a x a = a2 .

b. Luas segitiga

Suatu segitiga dengan alas a dan tinggi t mempunyai luas $L=\frac{1}{2}\times a\times t=\frac{1}{2}at$ .

c. Kuadrat jumlah suku aljabar

Pada suku aljabar (a + b), berlaku (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .

Nah, untuk memahami tentang teorema Pythagoras, perhatikan ilustrasi gambar di bawah ini.

                                       

Kita dapat menentukan luas persegi di atas dengan dua cara, yaitu:

a. Menghitung luas persegi besar dengan ukuran sisi (a + b).

Luas persegi dengan ukuran sisi (a + b) adalah L = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .

b. Menghitung luas 4 segitiga siku-siku dan luas 1 persegi kecil dengan ukuran sisi c pada bagian tengah bangun.

Luas 4 segitiga adalah $L_1=4.\frac{1}{2}ab=2ab$.

Luas 1 persegi kecil adalah $L_2=c^2$.

Luas total adalah $L=L_1+L_2=2ab+c^2$ .

Kedua cara di atas, tentu akan menghasilkan nilai yang sama, sehingga dapat kita tuliskan:

$\begin{array}{l}{a}^2+2ab+b^2=2ab+c^2\\ \iff a^2+b^2=c^2\end{array}$

Perhatikan bahwa a adalah panjang alas, b adalah tinggi, dan c adalah sisi miring pada segitiga siku-siku. a dan b merupakan dua sisi yang saling tegak lurus yang disebut sisi siku-siku, sedangkan c merupakan sisi di hadapan sudut siku-siku yang disebut dengan hipotenusa atau sisi miring. Dari hasil kesamaan di atas, diperoleh bahwa:

Untuk setiap segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi siku-sikunya.

                                       

Nah, sifat inilah yang dinamakan dengan teorema Pythagoras.