PERBANDINGAN PANJANG SISI-SISI PADA SEGITIGA KHUSUS 30 60 90

Perhatikan segitiga sama sisi ABC berikut.

Garis AD adalah garis tinggi, garis bagi, dan sekaligus garis berat dari segitiga ABC, sehingga AD membagi sisi BC sama besar.

Oleh karena AD merupakan garis tinggi pada segitiga ABC, maka segitiga ADC merupakan segitiga siku-siku di D. Oleh karena itu, berlaku teorema Pythagoras yaitu,

$\begin{array}{lcl}& A{D}^2+C{D}^2& =A{C}^2\\ \iff & A{D}^2+p^2& =(2p{)}^2\\ \iff & A{D}^2& =4p^2-2p\\ \iff & A{D}^2& =3p^2\\ \iff & AD& =p\sqrt{3}\end{array}$

Perhatikan bahwa $CD:AD:AC=p:p\sqrt{3}:2p$ atau $CD:AD:AC=1:\sqrt{3}:2$

Oleh karena,

CD adalah sisi di depan sudut ${30}^{\circ }$ 
AD adalah sisi di depan sudut ${60}^{\circ }$
AC adalah sisi di depan sudut ${90}^{\circ }$

maka kita dapatkan perbandingan berikut.

Perbandingan ini dapat digunakan untuk menyelesaikan soal segitiga siku-siku dengan sudut ${30}^{\circ }$ dan ${60}^{\circ }$ tanpa menggunakan teorema Pythagoras.

Contoh Soal

Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini.

Nilai p dan q pada segitiga siku-siku tersebut adalah....

Penyelesaian:

Diketahui segitiga siku-siku salah satu sudutnya adalah ${60}^{\circ }$. Oleh karena jumlah sudut pada sebuah segitiga = ${180}^{\circ }$, maka besar sudut ketiga = ${180}^{\circ }-({90}^{\circ }+{60}^{\circ })={30}^{\circ }$.

Misalkan sisi miring =r, maka pada segitiga ini berlaku,

$\begin{array}{ccccccccccc}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{t}{30}^{\circ }& :& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{t}{60}^{\circ }& :& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}& =& 1& :& \sqrt{3}& :& 2\\ q& :& p& :& r& =& 1& :& \sqrt{3}& :& 2\end{array}$.

Selanjutnya diperoleh q : r = 1 : 2 dan p : r = $3$ : 2

$\begin{array}{llll}& \frac{q}{r}& =& \frac{1}{2}\\ \iff & \frac{q}{5}& =& \frac{1}{2}\\ \iff & q& =& \frac{5\times 1}{2}\\ \iff & q& =& \frac{5}{2}\\ \iff & q& =& 2,5\end{array}$

$$

$\begin{array}{llll}& \frac{p}{r}& =& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \iff & \frac{p}{5}& =& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \iff & p& =& \frac{5\times \sqrt{3}}{2}\\ \iff & p& =& \frac{5\sqrt{3}}{2}\\ \iff & p& =& 2,5\sqrt{3}\end{array}$

Jadi, nilai $p=2,5\sqrt{3}$ dan $q=2,5$.